문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 특수 상대성 이론 (문단 편집) == 로런츠 불변성의 예 == 특수상대성이론의 '''특수'''란 말은, 이 이론이 등속도로 운동하는 관측자가 보는 경우에 한정된 특수한 이론이라는 의미다. 앞서 살펴본 내용들은 [[일반물리학]]에서도 잘 다루지 않을 정도로 꽤 까다로운 개념들이다. 하지만 과학에 관심이 있는 사람이라면 누구나 [[시간 지연]], [[길이 수축]], [[질량-에너지 동등성]] 등을 많이 들어보았을 것이다. 사실 광속 불변의 원리에 철저히 입각하면 시간이 늦게 흘러가거나, 길이가 줄어드는 이유를 무리 없이 설명할 수 있다. 특히 시간이 늦어지는 현상은 일반인에게 '''정성적으로''' 설명하는 방식이기도 하다. 여기서 어떤 계산을 하게 되면 [math((ct)^2-(x^2+y^2+z^2))]라는 값이 이 값을 관측하는 관성계와 관계 없이 같다는 결과를 얻기 때문에 4차원과 연관짓기 시작했다고 한다.[* 4차원과 로런츠 변환을 조금 더 부연 설명하면, 이렇게 할 수 있다. 한 평면의 가로축을 공간, 세로축을 시간이라고 하자. 그런데 관측자의 속도가 바뀌면, 이 두 축의 방향이 바뀐다! 이는 두 축이 회전한다는 뜻이고, 이것이 로런츠 변환이다. 축이 회전했으니, 시간과 거리가 바뀔 수밖에 없다. 그리고 이렇게 생각하려면, 시간과 공간을 통합해서 생각해야 하고, 이것이 흔히 말하는 4차원 시공간, 혹은 최초로 고안해 낸 사람의 이름을 딴 민코프스키 시공간이다.] 이를 시공간 거리라고 부르며, 사실 로런츠 변환을 유도함에 있어서 결정적인 역할을 하는 식이다. 또한, 위에서 말한 시공간 거리의 일정은 로런츠 변환 아래에서 일정하다는 뜻으로, 이는 시공간 거리와 로런츠 변환을 이용하여 '''새로운 기하학'''[* 현대 기하학에선 새로운 '길이'(거리함수)와 그 길이를 일정하게 하는 변환(등거리변환)을 가지고 기하학을 구축할 수 있다고 본다. 이런 관점에서 유클리드 기하학은 단지 한 예시일 뿐. 이 관점에서 유클리드 기하학이란 3차원 유클리드 거리함수와 회전변환을 통하여 만들어진 기하학이다.]을 만들어낼 수 있다는 의미이기도 하다. 이와 관련된 기하학이 바로 쌍곡선 기하학. 즉, 우리 우주를 지배하는 기하학은 우리가 아는 유클리드 기하학과는 판이한 것이다.[* 시공간 거리는 3차원 유클리드 기하학에서의 거리를 단순히 4차원 버전으로 바꾼 것과 전혀 다른 것이다. 그랬으면 [math((ct)^2 + x^2 + y^2 + z^2)] (부호 주의)이 일정해야 했을 것이다.][* 하지만 시간축을 뺀 나머지 공간축이 이루는 '공간'을 지배하는 기하학은 (일반상대론을 뺀다면) 여전히 유클리드 기하학이다. 사실, 특수상대론에서 다루는 기하학은 유클리드 기하학을 일종의 부분집합으로 포함한다. 전문 용어로 하자면, 특수상대론의 시공간을 지배하는 군 O(3, 1)은 유클리드 기하학을 지배하는 군 O(3)를 부분군으로 갖는다.] {{{#!folding [2차원 시공간 쌍곡선 증명] 어떤 1차원의 시간과 1차원의 공간으로 만들어진 시공간의 사건 [math((t,x))]의 로런츠 변환은 [math(t' = \gamma \left( t-\dfrac{v}{c^2}x \right))] [math(x' = \gamma (x - vt))] 그렇다면 [math(\begin{aligned} c^2 (t')^2-(x')^2 &= \gamma^2 \left( c^2t^2 - 2vtx + \dfrac{v^2}{c^2}x^2 \right) -\gamma^2(x^2 -2vtx + v^2t^2)=\gamma^2 \left( c^2t^2 + \dfrac{v^2}{c^2}x^2 - x^2 - v^2t^2 \right) \\ &= \dfrac{1}{1-\dfrac{v^2}{c^2}} \left( c^2t^2 +\dfrac{v^2}{c^2}x^2 - x^2 - v^2t^2 \right) = \dfrac{c^2t^2}{1-\dfrac{v^2}{c^2}}+\dfrac{v^2x^2}{c^2-v^2}-\dfrac{x^2}{1-\dfrac{v^2}{c^2}}-\dfrac{v^2t^2}{1-\dfrac{v^2}{c^2}} \\ &= \dfrac{c^4t^2}{c^2-v^2}+\dfrac{v^2x^2}{c^2-v^2}-\dfrac{c^2x^2}{c^2-v^2}-\dfrac{v^2c^2t^2}{c^2-v^2} = \dfrac{c^4t^2 + v^2x^2 - c^2x^2 -v^2c^2t^2}{c^2-v^2} = \dfrac{\cancel{(c^2-v^2)}(c^2t^2-x^2)}{\cancel{c^2-v^2}} = c^2t^2 - x^2 \end{aligned})] [math(\therefore c^2 (t')^2-(x')^2 = c^2t^2 - x^2)] 어떤 사건의 [math(s^2 = c^2t^2 - x^2)]은 관성계에 상관없이 일정하다는걸 알 수 있다. 즉, '''로런츠 변환이란 민코프스키 시공간의 쌍곡선 회전이다.''' 다시 말해서 어떤 시공간의 사건을 민코프스키 그래프 위에 있는 점으로 표현하고 이 점을 지나는 (초점이 ''x'' 또는 ''y''축에 있는) 쌍곡선을 그린다면, 그 어떤 로런츠 부스트를 몇번이나 거쳐도 이 점은 이 쌍곡선을 벗어날 수 없다.[* 평범한 2차원 공간에서 어떤 점과 그 점을 지나는 (원점에 중심이 있는) 원이 있다고 생각해보자. 이 점을 평범하게 아무리 회전시켜봤자 이 원을 벗어날 수 없는 원리와 똑같다.] 로런츠 부스트를 머리속으로 그릴때 상당히 도움되는 사실이니 알아두면 좋다.[* 참고로 여기서 로런츠 불변인 s를 시공간 간격 (spacetime interval)이라고 한다.] }}}저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기